Stopa matice

Stopa matice alebo diagonálny súčet alebo sled je v lineárnej algebre súčet členov na hlavnej diagonále matice. Matica musí byť štvorcová, musí mať teda n stĺpcov a n riadkov.

Značenie

Stopu matice $\mathbf {A}$ o jednotlivých prvkoch $\mathbf {a} _{ij}$ môžeme označiť týmito ekvivalentnými spôsobmi:

$\mathrm {Tr} \mathbf {A} =\mathrm {Sp} \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{n}a_{ii}$

Definícia

Majme štvorcovú maticu $\mathbf {A}$ nad poľom $\mathbf {K}$ s členmi:

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}$

stopu tejto matice definujeme nasledujúcim predpisom:

$\operatorname {Tr} (A)=\sum _{j=1}^{n}a_{jj}=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}\in K$.

Vlastnosti

Majme štvorcové matice $\mathbf {A}$, $\mathbf {B}$ a $\mathbf {C}$ nad poľom $\mathbf {K}$ o rovnakom rozmere $\mathbf {n}$×$\mathbf {n}$. Potom platia nasledujúce vlastnosti:

• Stopa reálnej alebo komplexnej matice je rovná sume jej vlastných hodnôt (zarátaných s danou násobnosťou). V charakteristickom polynóme vystupuje ako druhý koeficient. Má preto podobný význam ako determinant, ktorý je rovný súčinu vlastných hodnôt (umocnených s danou násobnosťou).

• Stopa je lineárne zobrazenie ($\mathbf {r}$ a $\mathbf {s}$ patria poľu $\mathbf {K}$), to znamená:

$\operatorname {Tr} (rA+sB)=r\cdot \mathrm {Tr} (A)+s\cdot \mathrm {Tr} (B)$.

• Stopa súčinu matíc je invariantná voči cyklickej zámene (permutácii matíc:

$\mathrm {Tr} (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \cdot \mathbf {C} )=\mathrm {Tr} (\mathbf {C} \cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )$

• Z predošlej vlastnosti plynie, že stopa je invariantná voči transformáciam báze pomocou nesingulárnej matice $\mathbf {B}$:

$\operatorname {Tr} \left(B^{-1}\cdot A\cdot B\right)=\mathrm {Tr} (A)$.

• Pre všetky reálne alebo komplexné matice rozmeru $n\times n$ platí:

$\det \left(\exp \left(A\right)\right)=\exp \left(\operatorname {Tr} \left(A\right)\right)$

• Pre transponovanú maticu $\mathbf {A} ^{T}$ platí:

$\mathrm {Tr} \mathbf {A} ^{T}=\mathrm {Tr} \mathbf {A}$